Конечно возможно-завы поликлиники и детсада вместе подписывают разрешение на ваше заявление.
Но в реале,при таком дефиците мест в детсадах-зав детсадом лучше привитого возьмет ребенка. И вы ничего не докажете,потому что вам просто скажут-мест нет,а не потому,что ваш ребенок не привит